6.4 Variance of a Discrete Random Variable

6.4.1 核心概念总结 / Core Concepts Summary

方差的定义：

方差 \(\operatorname{Var}(X)\) 定义为随机变量 \(X\) 与其期望值 \(\mathrm{E}(X)\) 的平均平方偏差：

\[\operatorname{Var}(X) = \mathrm{E}[(X - \mathrm{E}(X))^2]\]

方差的另一种等价计算公式为：

\[\operatorname{Var}(X) = \mathrm{E}(X^2) - [\mathrm{E}(X)]^2\]

方差的基本性质：

Basic Properties of Variance:

非负性：对于任何随机变量，方差总是非负的。Non-negativity: For any random variable, variance is always non-negative.
零方差：当且仅当随机变量为常数时，方差为零。Zero variance: Variance is zero if and only if the random variable is constant.
散布程度：方差越大，随机变量的分布越分散。Degree of dispersion: The larger the variance, the more dispersed the distribution of the random variable.
单位相关：方差的单位是随机变量单位的平方。Unit dependence: The unit of variance is the square of the unit of the random variable.

6.4.2 计算方法总结 / Calculation Methods Summary

方差的两种计算方法：

Two Methods for Calculating Variance:

定义法：使用公式 \(\operatorname{Var}(X) = \sum (x - \mu)^2 P(X = x)\)，其中 \(\mu = \mathrm{E}(X)\)。Definition method: Use the formula \(\operatorname{Var}(X) = \sum (x - \mu)^2 P(X = x)\), where \(\mu = \mathrm{E}(X)\).
简便法：使用公式 \(\operatorname{Var}(X) = \mathrm{E}(X^2) - [\mathrm{E}(X)]^2\)。Convenient method: Use the formula \(\operatorname{Var}(X) = \mathrm{E}(X^2) - [\mathrm{E}(X)]^2\).

骰子方差计算示例 / Dice Variance Calculation Example：

对于公平六面骰子，两种方法都得到相同结果 \(\frac{35}{12}\)。

\[\mathrm{E}(X^2) = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}\]

\[\operatorname{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}\]

6.4.3 与其他统计量的关系 / Relationship with Other Statistics

标准差 / Standard Deviation：

标准差是方差的平方根：

\[\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}\]

标准差与随机变量具有相同的单位，便于解释。

The standard deviation is the square root of the variance and has the same unit as the random variable, making it easier to interpret.

与期望值的关系 / Relationship with Expected Value：

方差可以表示为二阶原点矩与一阶原点矩平方的差值。

Variance can be expressed as the difference between the second-order origin moment and the square of the first-order origin moment.

重要区别 / Important Distinction：

期望值 \(\mathrm{E}(X)\) 表示随机变量的中心位置，方差 \(\operatorname{Var}(X)\) 表示随机变量围绕中心位置的散布程度。

The expected value \(\mathrm{E}(X)\) represents the central location of the random variable, while the variance \(\operatorname{Var}(X)\) represents the degree of dispersion around the central location.

6.4.4 应用要点总结 / Application Key Points

计算技巧 / Calculation Tips：

优先使用简便计算公式 \(\operatorname{Var}(X) = \mathrm{E}(X^2) - [\mathrm{E}(X)]^2\)。
Use the convenient formula \(\operatorname{Var}(X) = \mathrm{E}(X^2) - [\mathrm{E}(X)]^2\) first.
对于对称分布，方差的计算可能更简单。
For symmetric distributions, variance calculation may be simpler.
注意单位换算，方差的单位是原变量单位的平方。
Pay attention to unit conversion; variance has units that are the square of the original variable's units.
标准差通常比方差更容易解释和比较。
Standard deviation is usually easier to interpret and compare than variance.

常见错误提醒 / Common Mistakes Reminder：

不要混淆方差和标准差的概念和计算。
Do not confuse the concepts and calculations of variance and standard deviation.
计算 \(\mathrm{E}(X^2)\) 时要小心，不要忘记平方。
When calculating \(\mathrm{E}(X^2)\), be careful not to forget the squaring.
方差总是非负的，如果计算结果为负则表明计算错误。
Variance is always non-negative; if the calculation result is negative, it indicates a calculation error.

6.4.5 思维导图总结 / Mind Map Summary

离散随机变量方差知识体系：

核心概念	计算方法	性质特点	应用领域
• 方差定义 • 平均平方偏差 • 散布程度度量	• 定义公式 • 简便公式 • 二阶矩方法 • 逐步计算	• 非负性 • 零方差条件 • 单位相关性 • 与期望值关系	• 风险评估 • 质量控制 • 实验设计 • 统计推断